Question

已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=e^x．
（1）当a≤0时，求f（x）的单调区间；
（2）若不等式g（x）＜

x-m

x

有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出f′（x）=a+

1

x

，分当a≥0时，和a＜0时，讨论导函数在不同区间上的符号，进而可得f（x）的单调区间；
（2）若e^x＜

x-m

x

有解，即e^x

x

＜x-m有解，只需m＜x-e^x

x

，x∈（0，+∞）有解即可，构造函数h（x）=x-e^x

x

，利用导数法求出函数的最值，可得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax+lnx，的定义域是（0，+∞），且f′（x）=a+

1

x

（x＞0），
1°当a=0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
2°当a＜0时，由f′（x）=0，解得x=-

1

a

，
则当x∈（0，-

1

a

）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（-

1

a

，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
综上所述：当a=0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，f（x）在（0，-

1

a

）上单调递增，在（-

1

a

，+∞）上单调递减．
（2）由题意：e^x＜

x-m

x

有解，即e^x

x

＜x-m有解，
因此只需m＜x-e^x

x

，x∈（0，+∞）有解即可，
设h（x）=x-e^x

x

，h′（x）=1-e^x

x

-

ex

2 x

=1-e^x（

x

+

1

2 x

），
因为

x

+

1

2 x

≥2

1 2

=

2

＞1，且x∈（0，+∞）时e^x＞1，
所以1-e^x（

x

+

1

2 x

）＜0，即h′（x）＜0．
故h（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴h（x）＜h（0）=0，故m＜0．

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，存在性问题，利用导数函数的最值，是导数的综合应用，难度中档．