Question

已知过A（0，1）和B（4，a）且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及圆的方程．

Answer 1

设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．
∵点A、B在此圆上，∴E+F+1=0，①，4D+aE+F+a²+16=0②
又知该圆与x轴（直线y=0）相切，联立方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0 y=0

得，x²+Dx+F=0∴△=0，即D²-4F=0，③
由①、②、③消去E、F可得：

1

4

(1-a)D2+4D+a2-a+16=0，④
由题意方程④有唯一解，当a=1时，D=-4，E=-5，F=4；
当a≠1时由△=0可解得a=0，这时D=-8，E=-17，F=16．
综上可知，所求a的值为0或1，当a=0时圆的方程为x²+y²-8x-17y+16=0；当a=1时，圆的方程为x²+y²-4x-5y+4=0．