Question

已知过A（0，1）和B（4，a）且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：用待定系数法求圆的方程，先设出圆的一般方程，因为点A（0，1）和B（4，a）在圆上，满足圆的方程，把两点坐标代入圆方程，又因为圆与x轴相切，所以圆心到x轴的距离等于半径，而这样的圆只有一个，所以由前面几个条件化简得到的方程有唯一解，这样就可求出参数的值，得到a的值和圆的方程．
解答：解：设所求圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．
∵点A、B在此圆上，∴E+F+1=0，①，4D+aE+F+a²+16=0②
又知该圆与x轴（直线y=0）相切，联立方程
得，x²+Dx+F=0∴△=0，即D²-4F=0，③
由①、②、③消去E、F可得：，④
由题意方程④有唯一解，当a=1时，D=-4，E=-5，F=4；
当a≠1时由△=0可解得a=0，这时D=-8，E=-17，F=16．
综上可知，所求a的值为0或1，当a=0时圆的方程为x²+y²-8x-17y+16=0；当a=1时，圆的方程为x²+y²-4x-5y+4=0．
点评：本题主要考查待定系数法求圆的方程，一般可通过已知条件，设出所求方程，再寻求方程组进行求解．