Question

19．已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），cosα=$\frac{1}{7}$，cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$，则角β=（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{5π}{12}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 由题意求出α+β的范围，由条件和平方关系分别求出sinα、sin（α+β），由角之间的关系和两角差的余弦函数求出cosβ，由β的范围和特殊角的三角函数值求出β．

解答 解：∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），∴α+β∈（0，π），
∵cosα=$\frac{1}{7}$，∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∵cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$，
∴sin（α+β）=$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=$\frac{1}{7}×（-\frac{11}{14}）+\frac{5\sqrt{3}}{14}×\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{1}{2}$
∴β=$\frac{π}{3}$，
故选A．

点评 本题考查两角差的余弦函数，平方关系，以及变角在三角函数求值中的应用，注意角的范围，考查化简、计算能力．