Question

11．设命题$p：?n∈{N^*}，{（{-1}）^n}•（{2a+1}）＜2+\frac{{{{（{-1}）}^{n+1}}}}{n}$，命题q：当$?x∈（{0，\frac{π}{2}}），（{sinx-a}）（{cosx-a}）={a^2}$．
（1）当a=-1时，分别判断命题p和q的真假；
（2）如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-1时，命题$p：?n∈{N}^{*}，{（-1）}^{n+1}＜2+\frac{{（-1）}^{n+1}}{n}$，即$（1-\frac{1}{n}{）（-1）}^{n+1}＜2$，可判断其真假；
命题q：当$?x∈（0，\frac{π}{2}），（sinx+1）（cosx+1）=1$，即$?x∈（0，\frac{π}{2}）$，sinx+cosx=-sinxcosx，可判断其真假；
（2）如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，则命题p，q一真一假，进而得到实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=-1时，
命题$p：?n∈{N}^{*}，{（-1）}^{n+1}＜2+\frac{{（-1）}^{n+1}}{n}$，
即$（1-\frac{1}{n}{）（-1）}^{n+1}＜2$恒成立，
故命题p为真命题；
命题q：当$?x∈（0，\frac{π}{2}），（sinx+1）（cosx+1）=1$，
即$?x∈（0，\frac{π}{2}）$，sinx+cosx=-sinxcosx，
由sinx+cosx＞0，-sinxcosx＜0得：命题q为假命题，
（2）若命题$p：?n∈{N^*}，{（{-1}）^n}•（{2a+1}）＜2+\frac{{{{（{-1}）}^{n+1}}}}{n}$为真，
即$\left\{\begin{array}{l}2a+1＞-2-\frac{1}{n}，n为奇数\\ 2a+1＜2-\frac{1}{n}，n为偶数\end{array}\right.$恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}2a＞-3-\frac{1}{n}，n为奇数\\ 2a＜1-\frac{1}{n}，n为偶数\end{array}\right.$恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}2a≥-3\\ 2a＜\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
解得：a∈$[-\frac{3}{2}，\frac{1}{4}）$，
若命题q：当$?x∈（{0，\frac{π}{2}}），（{sinx-a}）（{cosx-a}）={a^2}$为真，
即sinx+cosx=asinxcosx，
即a=$\frac{sinxcosx}{sinx+cosx}$，
令t=sinx+cosx，t∈（1，$\sqrt{2}$]，
则a=$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$）∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]，
如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，
则命题p，q一真一假；
当p真q假时，a∈$[-\frac{3}{2}，0]$，
当p假q真时，a∈$[\frac{1}{4}，\frac{\sqrt{2}}{4}]$，
综上可得：a∈$[-\frac{3}{2}，0]$∪$[\frac{1}{4}，\frac{\sqrt{2}}{4}]$．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题，特称命题的否定，难度中档．