Question

16．若椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，点$Q（\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k_OA、k、k_OB成等差数列，又有点M（1，1），
求S_△ABM的面积（结果用k表示）；
（3）求出（2）中S_△ABM的最大值．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），将Q的坐标代入，结合椭圆的离心率公式及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线n的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，由等差数列的中项性质，化简整理可得m=0，将直线y=kx代入椭圆方程，求得A，B的坐标和弦长，求得M到直线AB的距离，运用三角形的面积公式可得S_△ABM的面积；
（3）令f（k）=$\frac{4（k-1）^{2}}{1+4{k}^{2}}$，求出导数和单调区间，可得S_△ABM的面积的平方的最大值，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由点$Q（\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$在椭圆C上，知$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{2}}$=1   ①
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$  ②
联立①②解得，a=2，b=1，
所以椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线n的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
 消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
且x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，
因为直线OA，AB，OB的斜率依次成等差数列，
所以$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=2k，即
x₁y₂+x₂y₁=2kx₁x₂，
又y=kx+m，所以kx₁x₂+mx₂+kx₁x₂+mx₁=2kx₁x₂，
即为m（x₁+x₂）=0，即m=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$易得A（$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），B（-$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，-$\frac{2k}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$），
弦AB的长为$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
又点M到直线y=kx的距离d=$\frac{|k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
所以S_△ABM=$\frac{1}{2}$•$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$•$\frac{|k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2|k-1|}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$；
（3）令f（k）=$\frac{4（k-1）^{2}}{1+4{k}^{2}}$，则f′（k）=$\frac{8（k-1）（4k+1）}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$，
易知f（k）在（-∞，-$\frac{1}{4}$），（1，+∞）上单调递增，在（-$\frac{1}{4}$，1）上单调递减．
又f（-$\frac{1}{4}$）=5，且x→+∞时，f（k）→1．
所以当k=-$\frac{1}{4}$时，f（k）取最大值5，
此时，S_△ABM的面积取最大值$\sqrt{5}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查等差数列中项的性质，以及直线的斜率公式，点到直线的距离公式，三角形的面积的最值的求法，注意运用导数，判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．