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已知函数 f(x)=ln(2ax+1)+
x3
3
-x2-2ax
(a≥0).
(1)若x=2为f(x)的极值点,求实数a的值;
(2)若y=f(x)在[3,+∞)上不是单调函数,求实数a的取值范围;
(3)当a=-
1
2
时,方程f(1-x)=
(1-x)3
3
+
b
x
有实根,求实数b的最大值.
(1)由函数 f(x)=ln(2ax+1)+
x3
3
-x2-2ax

得:f(x)=
2a
2ax+1
+x2-2x-2a

=
2a+2ax3+x2-4ax2-2x-4a2x-2a
2ax+1

=
x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]
2ax+1

因为x=2为f(x)的极值点,所以f(2)=0.
2a
4a+1
-2a=0
,解得:a=0.
又当a=0时,f(x)=x(x-2),从而x=2为f(x)的极值点成立.
(2)由函数f(x)的定义域可知,必须有2ax+1>0对x≥3恒成立,故只能a≥0,
由于f(x)=
x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]
2ax+1

所以,令g(x)=2ax2+(1-4a)x-(4a2+2).
则g(x)>0与g(x)<0在区间[3,+∞)上都有解,
由a≥0知,g(x)>0一定有解,又g(x)的对称轴为x=1-
1
4a
<1

因此只要g(3)<0即说明g(x)<0在区间[3,+∞)上都有解,
由g(3)<0得,4a2-6a-1>0,解得:a<
3-
13
4
a>
3+
13
4

因为a≥0,所以a>
3+
13
4

综上所述,a的取值范围是(
3+
13
4
,+∞).
(3)若a=-
1
2
时,方程f(1-x)=
(1-x)3
3
+
b
x
可化为:lnx-(1-x)2+(1-x)=
b
x

问题转化为b=xlnx-x(1-x)2+x(1-x)=xlnx+x2-x3在(0,+∞)上有解,
即求函数g(x)=xlnx+x2-x3的值域.
因为g(x)=x(lnx+x-x2),令h(x)=lnx+x-x2(x>0),
h(x)=
1
x
+1-2x=
(2x+1)(1-x)
x

当0<x<1时,h(x)>0,h(x)在(0,1)上为增函数,
当x>1时,h(x)<0,h(x)在(1,+∞)上为减函数,
因此h(x)≤h(1)=0.
而x>0,故b=x•h(x)≤0,
因此,当x=1时,b取得最大值0.
所以,当a=-
1
2
时,使方程f(1-x)=
(1-x)3
3
+
b
x
有实根的b的最大值为0.
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1
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A、(
1
3
,1)
B、(
1
3
1
2
]
C、(
1
3
6
11
]
D、[
6
11
,1

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