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    （本题满分12分）

    “坐标法”是以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究图形的几何性质的方法，它是解析几何中是基本的研究方法. 请用坐标法证明下面问题：

    已知圆O的方程是，点，P、Q是圆O上异于A的两点.证明：弦PQ是圆O直径的充分必要条件是.

    详见解析.

    【解析】

    试题分析：若,即.设直线AP的方程是.与圆方程联立消去可得关于的一元二次方程.从而可求得点坐标.同理可得点坐标.可得的坐标.根据坐标可得.从而可知三点共线,即是圆直径; 若弦是圆的直径,可设.根据向量数量积公式可得.

    试题解析：证明: 充分性:若,即

    设直线AP的方程是，

    代入得 2分

    因为，所以，从而得 4分

    因为，所以直线AQ的方程

    以代换点Q坐标中的，得 5分

    显然,即弦是圆的直径 6分

    （Ⅱ）必要性:若弦是圆的直径,设，

    10分

    因为,所以 12分

    考点：1充分必要条件;2向量数量积.

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    ξ

    －1

    0

    1

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    P

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    A．> B．<

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