Question

14．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$a（x-1）（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜0对任意x∈（1，+∞）恒成立．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）试比较e^a-2与a^e-2的大小，并给出证明（e为自然对数的底数，e=2.71828）．

Answer 1

分析 （1）一求切点，二求切点处的导数，即切线的斜率；
（2）只需求出函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值即可，利用导数研究单调性，进一步求其最值构造不等式求解；比较大小可将两个值看成函数值，然后利用函数的性质求解．

解答 解：（Ⅰ） 因为a=-2时，f（x）=inx+x-1，$f′（x）=\frac{1}{x}+1$．
所以切点为（1，0），k=f′（1）=2．
所以a=-2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2．
（ II）（ i）由f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$a（x-1），
所以$f′（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{2}=\frac{2-ax}{2x}$，
①当a≤0时，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）＞f（1）=0，
∴a≤0不合题意．
②当a≥2即$0＜\frac{2}{a}≤1$时，$f′（x）=-\frac{a（x-\frac{2}{a}）}{2x}＜0$在（1，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，有f（x）＜f（1）=0，
∴a≥2满足题意．
③若0＜a＜2即$\frac{2}{a}＞1$时，由f′（x）＞0，可得$1＜x＜\frac{2}{a}$，由f′（x）＜0，可得x$＞\frac{2}{a}$，
∴f（x）在$（1，\frac{2}{a}）$上单调递增，在$（\frac{2}{a}，+∞）$上单调递减，
∴$f（\frac{2}{a}）＞f（1）=0$，
∴0＜a＜2不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是[2，+∞）．
（ ii）a≥2时，“比较e^a-2与a^e-2的大小”等价于“比较a-2与（e-2lna）的大小”
设g（x）=x-2-（e-2）lnx，（x≥2）．
则$g′（x）=1-\frac{e-2}{x}=\frac{（x+2）-e}{x}＞0$．
∴g（x）在[2，+∞）上单调递增，因为g（e）=0．
当x∈[2，e）时，g（x）＜0，即x-2＜（e-2）lnx，所以e^x-2＜x^e-2．
当x∈（e，+∞）时g（x）＞0，即x-2＞（e-2）lnx，∴e^x-2＞x^e-2．
综上所述，当a∈[2，e）时，e^a-2＜a^e-2；
当a=e时，e^a-2=a^e-2；
当a∈（e，+∞）时，e^a-2＞a^e-2．

点评 本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程的思想、分类整合思想、数形结合思想．