Question

已知函数，
（1）求f（x）的定义域；　
（2）讨论f（x）函数的增减性．

Answer 1

解：（1）∵函数，∴a^x-1＞0．
当a＞1 时，由 a^x-1＞0 解得 x＞0，此时，函数的定义域为（0，+∞）．
当1＞a＞0时，由 a^x-1＞0 解得 x＜0，此时，函数的定义域为（-∞，+0）．
（2）当a＞1 时，y=a^x-1是定义域（0，+∞）上的增函数，f（x）=log_at是（0，+∞）上的增函数，
故f（x）是（0，+∞）上的增函数．
当1＞a＞0时，y=a^x-1是定义域（-∞，0）上的减函数，f（x）=log_at是（0，+∞）上的减函数，
故f（x）是（-∞，0）上的增函数．
综上可得，函数是定义域上的增函数．
分析：（1）由对数函数的定义域可得a^x-1＞0，分a＞1和1＞a＞0两种情况分别求出x的取值范围，即得函数的定义域．
（2）当a＞1 时，根据复合函数的单调性求出f（x）函数的增减性，当1＞a＞0时，同理根据复合函数的单调性
求出f（x）函数的增减性．
点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，复合函数的单调性，求对数函数的定义域，体现了分类讨论的数学思想，
属于中档题．