Question

求证：lnx＜x＜e^x时，x＞0．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：构造函数，分别设设f（x）=lnx-x；g（x）=x-e^x，分别求导，求出函数的最大值与0的关系，即可证明

解答： 证：设f（x）=lnx-x；
∴f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，
令f′（x）=0，解得x=1，
当f′（x）＞0时，即0＜x＜1时，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＞0时，即x＞1时，函数f（x）单调递减，
故当x=1时函数有最大值，f（x）_max=f（1）=-1，
故f（x）=lnx-x＜0；
∴lnx＜x；
令g（x）=x-e^x，
g′（x）=1-e^x，
∵x＞0，
∴g′（x）＜0；
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）＜1-e＜0；
∴x＜e^x，
∴lnx＜x＜e^x，

点评：本题考查函数导数符号和函数单调性的关系，以及通过求导，利用函数单调性证明不等式的方法．