Question

6．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式2f（-ax+lnx+1）+f（ax-lnx-1）≥3f（l）对x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [2，e]
• B． [$\frac{1}{e}$，+∞）
• C． [$\frac{1}{e}$，e]
• D． [$\frac{1}{e}$，$\frac{2+ln3}{3}$]

Answer 1

分析 由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤ax-lnx≤2对x∈[1，3]恒成立．即a≥$\frac{lnx}{x}$且a≤$\frac{2+lnx}{x}$对x∈[1，3]恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得a的范围．

解答 解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，
若不等式2f（-ax+lnx+1）+f（ax-lnx-1）≥3f（l）对x∈[1，3]恒成立，
即f（ax-lnx-1）≥f（1）对x∈[1，3]恒成立．
∴-1≤ax-lnx-1≤1 对x∈[1，3]恒成立，
即0≤ax-lnx≤2对x∈[1，3]恒成立，
即a≥$\frac{lnx}{x}$且a≤$\frac{2+lnx}{x}$对x∈[1，3]恒成立．
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，则 g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，在[1，e）上递增，（e，3]上递减，∴g（x）_max=$\frac{1}{e}$．
令h（x）=$\frac{2+lnx}{x}$，h′（x）=$\frac{-1-lnx}{{x}^{2}}$＜0，在[1，3]上递减，∴h（x）_min=$\frac{2+ln3}{3}$．
综上所述，a∈[$\frac{1}{e}$，$\frac{2+ln3}{3}$]．
故选D．

点评 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．