Question

已知关于x的方程x²+2ax+b=0，其中，，b∈[0，2]．
（1）求方程有实根的概率；
（2）若a∈Z，b∈Z，求方程有实根的概率．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，由一元二次方程的性质，可得x²+2ax+b=0有实根的充要条件为b≤a²，
（1）由题意分析可得，这是几何概型，将表示为平面区域，进而可得其中满足b≤a²的区域的面积，由几何概型公式，计算可得答案．
（2）由题意分析可得，这是古典概型，由a、b分别从{-1，0，1}，{0，1，2}中任取的数字，易得一共可以得到9个不同方程；可得满足b≤a²的全部情况数目，结合古典概型公式，计算可得答案．
解答：解：方程x²+2ax+b=0有实根?△≥0?4a²-4b≥0?b≤a²，
（1）点（a，b）所构成的区域为，
面积S_Ω=；
设“方程有实根”为事件A，所对应的区域为，
其面积，
这是一个几何概型，所以
（2）因为a∈Z，b∈Z，所以（a，b）的所有可能取值有9个，分别是：（-1，0），（0，0），（1，0），（-1，1），（0，1），（1，1），（-1，2），（0，2），（1，2），
其中，满足△≥0即b≤a²的有5个：（-1，0），（0，0），（1，0），（-1，1），（1，1）．
设“方程有实根”为事件B，这是一个古典概型，所以
答：（1）所求概率为；（2）所求概率为．
点评：本题考查几何概型和古典概型，放在一起的目的是把两种概型加以比较，注意两者的不同．