Question

已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx+c(ω>0,x∈R,c是实数常数)的图象上的一个最高点是(,1),与该最高点最近的一个最低点是(,-3),

(1)求函数f(x)的解析式及其单调增区间;

(2)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且·=-ac,角A的取值范围是区间M,当x∈M时,试求函数f(x)的取值范围.

Answer 1

解:(1)∵f(x)=sin ωx+cos ωx+c,

∴f(x)=2sin(ωx+)+c,

∵(,1)和(,-3)分别是函数图象上相邻的最高点和最低点,

∴解得

∴f(x)=2sin(2x+)-1.

由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.

∴函数f(x)的单调递增区间是[kπ-,kπ+],k∈Z.

(2)∵在△ABC中,·=-ac,

∴accos(π-B)=-ac,0<B<π,B=.

∴A+C=,0<C,即0<A<.

∴M=(0,).

当x∈M时,<2x+<,考察正弦函数y=sinx的图象,可知,-1<sin(2x+)≤1.

∴-3<f(x)≤1,即函数f(x)的取值范围是(-3,1].