Question

设椭圆C₁的方程为 =1(a＞b＞0)，曲线C₂的方程为y=，且C₁与C₂在第一象限内只有一个公共点P.

(Ⅰ)试用a表示点P的坐标.

(Ⅱ)设A、B是椭圆C₁的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S(a)的值域；

(Ⅲ)设min｛y₁，y₂，…，y_n｝为y₁，y₂，…，y_n中最小的一个设g(a)是以椭圆C₁的半焦距为边长的正方形的面积，试函数f(a)=min｛g(a),S(a)｝的表达式.

Answer 1

(Ⅰ)解：将y=代入椭圆方程，得=1，

化简得b²x⁴－a²b²x²+a²=0，

由条件，有Δ=a⁴b⁴－4a²b²=0

得ab=2

解得x=,x=－ (舍去)

 

故P的坐标为(,)

 

(Ⅱ)解：∵在ΔABP中,｜AB｜=2，高为，∴S(a)=·2·=2

∵a＞b＞0，b=，

∴a＞,

即a＞，得0＜＜1，

 

于是0＜S(a)＜2故ΔABP的面积函数S(a)的值域为(0，)

 

(Ⅲ)解：g(a)=c²=a²－b²=a²－，

 

解不等式：g(a)≥S(a)，

 

即a²－≥，

 

整理得：a⁸－10a⁴+24≥0，

即(a⁴－4)(a⁴－6)≥0，

即(a⁴－4)(a⁴－6)≥0

解得：a≤2(舍去)或a≥,

 

故f(a)=min｛g(a),S(a)｝=