Question

设椭圆C₁的方程为(a＞b＞0)，曲线C₂的方程为y=，且曲线C₁与C₂在第一象限内只有一个公共点P.

（1）试用a表示点P的坐标；

（2）设A、B是椭圆C₁的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S(a)的值域；

（3）记min{y₁,y₂,……,y_n}为y₁,y₂,……,y_n中最小的一个. 设g(a)是以椭圆C₁的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式.

Answer 1

（1）P的坐标为()（2）△ABP的面积函数S(a)的值域为(0,)（3）f(a)=min{g(a), S(a)}

解析:

（1）将y=代入椭圆方程，得

化简，得b²x⁴–a²b²x²+a²=0

由条件，有Δ=a⁴b⁴–4a²b²=0，得ab=2

解得x=或x=–（舍去）故P的坐标为(). 

(2)∵在△ABP中，｜AB｜=2，高为,

∴

∵a＞b＞0,b=

∴a＞,即a＞,得0＜＜1

于是0＜S（a）＜，故△ABP的面积函数S(a)的值域为(0,)

(3)g(a)=c²=a²–b²=a²–

解不等式g(a)≥S(a)，即a²–≥

整理，得a⁸–10a⁴+24≥0，即(a⁴–4)(a⁴–6)≥0

解得a≤（舍去）或a≥ 

故f(a)=min{g(a), S(a)}