Question

如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC= ∠ACD=90°，AE∥CD，DC=AC=2AE=2，
（Ⅰ）求证：平面BCD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅲ）求四面体B-CDE的体积。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵面面，面面，
，
∴DC⊥面，
又∵面，
∴平面平面。
（Ⅱ）取BD的中点P，连结EP、FP，
则FP ，
又∵EA，
∴，
∴四边形AFPE是平行四边形，
∴AF∥EP，
又∵面BDE且面，
∴AF∥面BDE。
（Ⅲ）∵，面面=AC，
∴BA⊥面，
∴BA就是四面体的高，且BA=2，
∵DC=AC=2AE=2，AE∥DC，
∴，
∴， 
∴。