Question

如图所示,在直角梯形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,CD=DA=a,AB=2a,SA⊥平面ABCD,且SA=a,

(1)求证:△SAD、△SAB、△SDC、△SCB都是直角三角形;

(2)在SD上取点M,SC交平面ABM于N,求证:四边形ABNM是直角梯形;

(3)若SM=x,写出BM=f(x)的表达式,并求当x为何值时,BM最小?最小值是多少?

Answer 1

(1)证明:∵SA⊥平面ABCD,∴SA⊥AD,SA⊥AB.

∴△SAD、△SAB是直角三角形.

又CD⊥AD,

∴CD⊥SD(三垂线定理).

故△SDC是直角三角形.

在Rt△SAD中, ;

在Rt△SDC中,;

在Rt△SAB中,.

在直角梯形ABCD中,

.

∴SC²+BC²=SB²,故△SCB是直角三角形.

(2)证明:∵CD∥AB,∴CD∥平面ABNM.

又CD平面SCD,且平面SCD∩平面ABNM=MN,

∴CD∥MN.∴AB∥MN.

又MN＜CD＜AB,

∴四边形ABNM为梯形.

∵AB⊥SA,AB⊥AD,

∴AB⊥平面SAD.∴AB⊥AM.

故四边形ABNM为直角梯形.

(3)解:在△SAM中,∠ASM=45°,SA=a,SM=x,

由余弦定理得AM²=x²+a²-2axcos45°=x²+a²-.

在Rt△BAM中,,

∴当x=时,BM_min=,

即当x为时,BM最小,最小值为.