Question

已知函数y=lg（-x²+x+2）的定义域为A，指数函数y=a^x（a＞0且a≠1）（x∈A）的值域为B．
（1）若a=2，求A∪B；
（2）若A∩B=（

1

2

，2），求a的值．

Answer 1

分析：（1）先根据真数大于零求出集合A以及指数函数的值域集合B，再根据两个集合的交集的意义求解；
（2）先根据真数大于零求出集合A，讨论a＞1与0＜a＜1两种情形，由A∩B=（

1

2

，2）建立关系式，解之即可．

解答：解：（1）依题意知A={x|-x²+x-2＞0}=（-1，2）．（2分）
若a=2，则y=a^x=2^x∈（

1

2

，4），即B=（

1

2

，4），（4分）
∴A∪B=（-1，4）．（　　）（6分）
（2）由A={x|-x²+x-2＞0}=（-1，2），知
①当a＞1时，B=（

1

a

，a²），若A∩B=（

1

2

，2），则必有

1 a = 1 2 a2≥2

，a=2（10分）
（或

1

a

=

1

2

，a=2此时B=（

1

2

，2），A∩B=（

1

2

，2），符合题意，故a=2为所求）．
②当0＜a＜1时，B=（a²，

1

a

），若A∩B=（

1

2

，2），则必有a2=

1

2

，a=

2

2

，此时B=（

1

2

，

2

），A∩B=（

1

2

，

2

），不符合题意，舍去；（13分）
综上可知a=2．（14分）

点评：本题主要考查了指数函数与对数函数的定义域和值域，以及交集与并集的运算，属于基础题．