Question

13．已知函数f（x）=e^x-lnx，则函数在点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为$\frac{1}{2e-2}$．

Answer 1

分析 求得函数f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程，再令x=0，y=0，求得与坐标轴的交点，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：函数f（x）=e^x-lnx的导数为f′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，
函数在点（1，f（1））处的切线斜率为e-1，
切点为（1，e），
可得切线的方程为y-e=（e-1）（x-1），
可令x=0，解得y=1；
y=0，解得x=1-$\frac{e}{e-1}$=$\frac{1}{1-e}$．
即有切线与坐标轴围成的三角形的面积为$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{e-1}$=$\frac{1}{2e-2}$．
故答案为：$\frac{1}{2e-2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及三角形的面积的求法，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．