Question

4．集合A={x∈Z|x≥10}，集合B是集合A的子集，且B中的元素满足：
①任意一个元素的各数位上的数字互不相同；
②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9．问
（1）集合B中两位数和三位数各有多少个？
（2）集合B中是否有五位数？是否有六位数？
（3）将集合B中的元素从小到大排列，求第1081个元素．

Answer 1

分析 （1）根据题意，对于两位数的个数：先计算所有的两位数的数目，排除其中数字相同的两位数和两位数字之和为9的两位数，即可得符合条件的两位数个数；对于三位数：先计算全部三位数的个数，排除其中数字1和8、2和7、3和6、4和5的三位数数目，即可得三位数的个数；
（2）根据题意，分析其中和为9的两个数的情况：（0，9）、（1，8）、（2，7）、（3，6）、（4，5），由组合排列公式分析即可得答案．
（3）计算B中的两位数、三位数和首位是1、2、3的四位数的个数，计算可得B中小于4000的元素数目，分析可得答案．

解答 解：（1）根据题意，所有的两位数共90个，其中数字相同的有11、22、33、44、55、66、77、88、99，共9个，
两位数字之和为9的有18、27、36、45、54、63、72、81、90，共9个，
则集合B中两位数有90-9-9=72个；
所有三位数有9×9×8=648个，
其中含有数字0和9的有4×8=32个，含有数字1和8、2和7、3和6、4和5的各有4×8+2×7=46个，
故B的三位数有648-32-46×4=432个；
（2）集合B中可以有五位数，只需在（0，9）、（1，8）、（2，7）、（3，6）、（4，5）中任选1个，组成一个五位数即可；
集合B中没有六位数，在0到9十个数字中任取6个，必包含（0，9）、（1，8）、（2，7）、（3，6）、（4，5）中的1个，
不满足任意两个数位的数字之和不等于9条件．
（3）B中的四位数首位是1、2、3的各有8×A₄³=192个，
因此，B中小于4000的元素共有72+432+192×3=1080个，
因此，第1081个元素为4012．

点评 本题考查排列、组合的应用，关键是分析题意，将其转化为排列组合问题．