Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＜b＜0)的左、右焦点分别为F₁，F₂点A在椭圆C上，

.

AF1

•

F1F2

=0，3|

.

AF2

|•|F1A|=-5

.

AF2

•

F1A

，|

.

F1F2

|=2，过点F₂且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）线段OF₂上是否存在点M（m，0），使得

.

OP

•

.

MP

=

.

PQ

•

MQ

？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用

AF1

•

F1F2

=0，可得∠AF₁F₂=90°．由已知3|

AF2

| |

F1A

|=-5

AF2

•

F1A

，利用夹角公式可得cos∠F₁AF₂=

3

5

．又|

F1F2

|=2，解得|

AF1

|，|

AF2

|．即可得到2a=|

AF1

|+|

AF2

|=4，c=1，即可得到b²=a²-c²，进而得到椭圆方程；
（II）存在这样的点M符合题意．设线段PQ的中点为N，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），直线PQ的斜率为k（k≠0），注意到F₂（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x-1），与椭圆方程联立得到根与系数的关系，利用中点坐标公式即可得到点N，再利用向量

QP

•

MP

=

PQ

•

MQ

可得

PQ

•(

MP

+

MQ

)=2

PQ

•

MN

=0，因此PQ⊥MN，利用k•k_MN=-1即可得到m与k的关系．

解答：解：（Ⅰ）∵

AF1

•

F1F2

=0，∴∠AF₁F₂=90°．
∵3|

AF2

| |

F1A

|=-5

AF2

•

F1A

，∴cos∠F₁AF₂=

3

5

．
又|

F1F2

|=2，解得|

AF1

|=

3

2

，|

AF2

|=

5

2

．
∴2a=|

AF1

|+|

AF2

|=4，
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3，
即所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ） 存在这样的点M符合题意．
设线段PQ的中点为N，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），
直线PQ的斜率为k（k≠0），
注意到F₂（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x-1），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

消去y得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
所以x1+x2=

8k2

4k2+3

，
故x0=

x1+x2

2

=

4k2

4k2+3

，y₀=k（x₀-1）=

-3k

4k2+3

．
又点N在直线PQ上，所以N(

4k2

4k2+3

，

-3k

4k2+3

)，
由

QP

•

MP

=

PQ

•

MQ

可得

PQ

•(

MP

+

MQ

)=2

PQ

•

MN

=0，
∴PQ⊥MN，∴k_MN=

0+ 3k 4k2+3

m- 4k2 4k2+3

=-

1

k

，
整理得m=

k2

4k2+3

=

1

4+ 3 k2

∈(0，

1

4

)，
所以，在线段OF₂上存在点M（m，0）符合题意，其中m∈(0，

1

4

)．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为根与系数的关系、中点坐标公式、向量的数量积运算等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．