Question

给出下列命题：
①如果函数f（x）对任意的x∈R，都有f（1+x）=f（1-x），那么函数f（x）必是偶函数；
②要得到函数y=sin（1-x）的图象，只要将函数y=sin（-x）的图象向右平移1个单位即可；
③如果函数f（x）对任意的x₁、x₂∈R，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，那么函数f（x）在R上是增函数；
④函数y=f（x）和函数y=f（x-2）+1的图象一定不能重合．其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：①如果函数f（x）对任意的x∈R，都有f（1+x）=f（1-x），那么函数f（x）必是偶函数，由对称性判断；
②要得到函数y=sin（1-x）的图象，只要将函数y=sin（-x）的图象向右平移1个单位即可，由平移规则进行判断；
③如果函数f（x）对任意的x₁、x₂∈R，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，那么函数f（x）在R上是增函数，由函数的单调性的定义判断；
④函数y=f（x）和函数y=f（x-2）+1的图象一定不能重合，有平移规则判断．

解答：解：①如果函数f（x）对任意的x∈R，都有f（1+x）=f（1-x），那么函数f（x）必是偶函数，此命题中的条件说明函数关于直线x=1对称，不能得出偶函数的结论，故错误；
②要得到函数y=sin（1-x）的图象，只要将函数y=sin（-x）的图象向右平移1个单位即可，由平移规则知，此命题是正确命题；
③如果函数f（x）对任意的x₁、x₂∈R，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，那么函数f（x）在R上是增函数，由函数单调性的定义知，此命题是正确命题；
④函数y=f（x）和函数y=f（x-2）+1的图象一定不能重合，存在一个函数右移两个单位再产移一个单位可以重合，如y=

1

2

x，故此命题不正确．
综上，②③是正解命题
故答案为②③

点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，求解本题的关键是掌握住平移的规则以及函数的对称性的，函数的单调性的判断方法，图象的变化等知识，本题是基础知识基本概念题，涉及到的知识点较多，判断时思维转换快，易出错．