Question

42、给出下列命题：
①如果函数f（x）对任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0，则函数f（x）在R上是减函数；
②如果函数f（x）对任意的x∈R，都满足f（x）=-f（2+x），那么函数f（x）是周期函数；
③函数y=f（x）与函数y=f（x+1）-2的图象一定不能重合；
④对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）．
其中正确的命题是

①②④

．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：（1）由题意可知，对任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，当x₁＞x₂时，f（x₁）＜f（x₂），当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂），可知函数随着x的递增而递减，递减而递增，因而可知函数f（x）在R上是减函数；
（2）由题意知f（x）=-f（2+x），因而可知f（x+4）=-f（x+2）=f（x），因而可知函数的周期为4．
（3）根据函数的平移，可知函数y=f（x+1）-2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，存在函数f（x）=2x使得图象可以重合．
（4）由f（-x）=-f（x）且x＞0时，f′（x）＞0，知函数f（x）关于原点中心对称且单调递增，由g（-x）=g（x）且x＞0时，g′（x）＞0，可知函数g（x）关于y轴对称且先单调递增后单调递减，因此可判断出x＜0时，f′（x）＞g′（x）．

解答：解：（1）由题意可知，
对任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，
当x₁＞x₂时，
f（x₁）＜f（x₂），
当x₁＜x₂时，
f（x₁）＞f（x₂），
可知函数随着x的递增而递减，递减而递增，
因而可知函数f（x）在R上是减函数，故此命题正确；
（2）由题意知f（x）=-f（2+x），
因而可知f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
因而可知函数的周期为4，故此命题正确．
（3）根据函数的平移，
可知函数y=f（x+1）-2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，
存在函数f（x）=2x使得图象可以重合，故此命题错误．
（4）由f（-x）=-f（x）
且x＞0时，f′（x）＞0，
知函数f（x）关于原点中心对称且单调递增，
由g（-x）=g（x）
且x＞0时，g′（x）＞0，
可知函数g（x）关于y轴对称且先单调递增后单调递减，
因此可判断出x＜0时，f′（x）＞g′（x），故此命题正确，
故答案为：①②④．

点评：此题考查函数单调性、奇偶性和周期性的判断方法及相关计算．