Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F（

2

，0），为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m（km≠0）与椭圆C相交于A，B两点，若线段AB中点P在直线x+2y=0上，O为坐标原点，求△OAB的面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得

c= 2 2b2 a =2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）联立

y=kx+m x2 4 + y2 2 =1

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、点到直线距离公式、弦长公式，结合已知条件能求出△OAB的面积的最大值．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F（

2

，0）为其右焦点，
过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，
∴

c= 2 2b2 a =2 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=2，c²=2，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）联立

y=kx+m x2 4 + y2 2 =1

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
由△＞0，得16k²m²-8（1+2k²）（m²-2）＞0，
整理，得4k²-m²+2＞0，（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-4

1+2k2

，
y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+2k2

，
故AB的中点P（

-2km

1+2k2

，

m

1+2k2

），由点P在直线x+2y=0上，得：

-2km

1+2k2

+

2m

1+2k2

=0，即

2m(1-2k)

1+2k2

=0，
又∵km≠0，∴k=1，
此时一元二次方程可变形为3x²+4mx+2m²-4=0，
（*）式整理，得6-m²＞0，解得-

6

＜m＜

6

，
直线l：x-y+m=0，
∴点O到直线AB的距离为d=

|m|

2

，
|AB|=

2

•

16m2-24(m2-2)

3

=

4 6-m2

3

，
∴S_△OAB=

1

2

|AB|•d=

2 m2(6-m2)

3 2

≤

2• m2+(6-m2) 2

3 2

=

2

，
当且仅当m²=6-m²，即m=±

3

时取等号，
故△OAB的面积的最大值为

2

．

点评：本题考是椭圆方程的求法，考查三角形面积最大值的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、点到直线距离公式、弦长公式等知识点的合理运用．