Question

在直角坐标系xOy中，点P到两点（0，-

3

），（0，

3

）的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线l：y=kx+1与C交于A、B两点，
（1）写出C的方程；
（2）若以AB为直径的圆过原点O，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，-

3

)，(0，

3

)为焦点，长半轴为2的椭圆．由此能求出曲线C的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1.

消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，由此利用韦达定理、向量垂直结合已知条件能求出k=±

1

2

．

解答： 解：（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，
点P的轨迹C是以(0，-

3

)，(0，

3

)为焦点，
长半轴为2的椭圆．它的短半轴b=

22-( 3 )2

=1，
故曲线C的方程为x2+

y2

4

=1． …（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
其坐标满足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1.

消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，…（7分）
故x1+x2=-

2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+4

． …（8分）
因为

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1，
于是x1x2+y1y2=-

3

k2+4

-

3k2

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=0，
化简得-4k²+1=0，
所以k=±

1

2

．
所以直线方程为y=±

1

2

x+1．…（12分）

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．