Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，AB=4，BC=3，E是PD的中点．
（1）证明：PB∥平面ACE
（2）求二面角E-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明OE∥PB，即可证明PB∥平面ACE；
（2）建立坐标系，求出面EAC法向量、面BAC法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角E-AC-B的平面角的余弦值．

解答： （1）证明：连接BD交AC于O，可知O为BD中点，连接OE．
△PBD中，OE∥PB．
由PB?面ACE，OE?面ACE，OE∥PB，得PB∥面ACE  …4′
（2）解：建系如图：则A（3，0，0），C（0，4，0），E（0，0，2）
∴

AC

=(-3，4，0)，

AE

=(-3，0，2)…6′
设面EAC法向量为

m

=（x，y，z），则

-3x+4y=0 -3x+2z=0

∴面EAC法向量

m

=(4，3，6)
由题知面BAC法向量

n

=(0，0，1)…8′
∵cos＜

m

，

n

＞=

6

61

=

6

61

61

…10′
∴求二面角E-AC-B的平面角的余弦值为-

6

61

61

…12′

点评：本题考查线面平行，考查平面与平面所成角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．