Question

已知角A，B为锐角，且满足：sin²（A+B）=sin²A+sin²B．
（Ⅰ）求sinA+sinB的取值范围；
（Ⅱ）以A，B为内角构造△ABC，角A，B，C所对的边为a，b，c，若c=2，求

a2+2b2

a2b2

的最小值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ） 化简所给的等式可得cos（A+B）=0，可得 A+B=

π

2

，再根据sinA+sinB=

2

sin（A+

π

4

）．结合A+

π

3

∈（

π

3

，

3π

4

），sinA+sinB的取值范围．
（Ⅱ）由于三角形ABC为直角三角形，C=

π

2

，可得a²+b²=4．化简

a2+2b2

a2b2

为

1

4

（3+

2b2

a2

+

a2

b2

），利用基本不等式求得 

a2+2b2

a2b2

的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵角A，B为锐角，且满足：sin²（A+B）=sin²A+sin²B，
∴（sinAcosB+cosAsinB）²=sin²A+sin²B，即 2sinAcosBcosAsinB=2sin²A•sin²B，
化简可得cos（A+B）=0，∴A+B=

π

2

，∴sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+

π

4

）．
结合A+

π

3

∈（

π

3

，

3π

4

），可得sin（A+

π

4

）∈（

2

2

，1]，即sinA+sinB的取值范围为（

2

2

，1]．
（Ⅱ）以A，B为内角构造△ABC，则三角形ABC为直角三角形，C=

π

2

．
由c=2，可得a²+b²=4．
由于

a2+2b2

a2b2

=

2

a2

+

1

b2

=

a2+b2

4

•（

2

a2

+

1

b2

）=

1

4

（3+

2b2

a2

+

a2

b2

）≥

1

4

（3+2

2

），
当且仅当

2b2

a2

=

a2

b2

，即 a²=

2

b²时，取等号，
故

a2+2b2

a2b2

的最小值为

1

4

（3+2

2

）．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，基本不等式的应用，属于中档题．