Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为

2

，且过点（4，-

10

）．
①求双曲线方程．
②若直线l：x-2y+6=0与双曲线相交于A、B两点，求|AB|．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①由离心率设双曲线方程为x²-y²=λ，代入点（4，-

10

），得到λ，即可得到双曲线方程；
②联立直线方程和双曲线方程，运用韦达定理，再由弦长公式，即可求出弦长．

解答： 解：①∵双曲线离心率为

2

∴双曲线为等轴双曲线．                  
设双曲线方程为x²-y²=λ，
∵双曲线过点（4，-

10

），
∴16-10=λ，即λ=6                               
∴双曲线方程为

x2

6

-

y2

6

=1．
②由

x-2y+6=0 x2-y2=6

，得：x²-4x-20=0，
∴

x1+x2=4 x1x2=-20

                                
∴|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+ 1 4

•

16+80

=2

30

．

点评：本题考查双曲线的方程和几何性质，考查直线和双曲线的位置关系和弦长公式，属于基础题．