Question

已知椭圆

x2

2

+y²=1，
（1）求过点P（

1

2

，

1

2

）且被P平分的弦所在直线的方程；
（2）过A（2，1）引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）用“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程，注意点A在椭圆内，即直线存在．
（2）这是利用点差法来求弦的中点问题．可先设弦ABC的中点P以及C，B点的坐标，把直线AB斜率分别用P点坐标以及P点坐标表示，化简即可得含x，y的方程，即弦AB的中点P的轨迹方程，注意范围．

解答： 解：（1）设这条弦与椭圆

x2

2

+y²=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由中点坐标公式知x₁+x₂=1，y₁+y₂=1，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入

x2

2

+y²=1，
作差整理得，（x₁-x₂）+2（y₁-y₂）=0，
∴k=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

，
∴这条弦所在的直线的方程y-

1

2

=-

1

2

（x-

1

2

），即y=-

1

2

x+

3

4

，
检验：由于点（

1

2

，

1

2

）在椭圆内，故成立．
（2）设过A（2，1）引椭圆的割线ABC．
设B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），中点P（x，y），则2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂，
直线AB：y-1=k（x-2）
则x₁²+2y₁²=2①，x₂²+2y₂²=2②
①-②得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
整理得，x（x₁-x₂）+2y（y₁-y₂）=0，化简得：k=

y1-y2

x1-x2

=-

x

2y

，代入y-1=k（x-2）
整理得：x²+2y²-2x-2y=0（-

2

≤x≤

2

），即为BC的中点P的轨迹方程．

点评：本题主要考查椭圆的中点弦方程的求法，用“点差法”解题是圆锥曲线问题中常用的方法，注意检验方程的存在性和限制条件．