Question

已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，其右焦点到直线x-y+2

2

=0的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证椭圆与直线y=x-2相切．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,证明题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题设得，b=1，再由点到直线的距离公式，求出c，再由a，b，c的关系，求出b，从而得到椭圆的方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式，即可得证．

解答： （1）解：由题意设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵b=1，又设右焦点F为（c，0），
则

|c+2 2 |

2

=3，解得c=

2

，∴a=

3

，
∴椭圆方程为

x2

3

+y²=1．
（2）证明：联立直线方程y=x-2，和椭圆方程

x2

3

+y²=1，
消去y得，x²+3x²-12x+12=3，整理得，4x²-12x+9=0，
显然判别式为12²-4×4×9=0，
故椭圆与直线y=x-2相切．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线与椭圆的位置关系：相切，只需联立方程，运用判别式为0．