Question

已知△ABC的两顶点B（1，0）和C（-1，0），两边AB、AC所在直线的斜率之积是-2．
（1）求顶点A的轨迹Q；
（2）若不经过点B、C的直线l与轨迹Q只有一个公共点，且公共点在第一象限，试求直线l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设点A（x，y），由斜率公式，列式并化简，即可；
（2）可设直线l方程为y=kx+b，联立轨迹Q的方程，消去y，得到x的方程，由判别式为0，得到k，b的关系式，求出三角形的面积关系式，运用基本不等式，即可得到最小值，且k，b的值．

解答： 解：（1）设点A（x，y），则由题设可知：

y

x-1

•

y

x+1

=-2（x≠±1），
化简可得：x²+

y2

2

=1（x≠±1），
∴点A的轨迹Q是以（0，1）和（0，-1）为焦点，长轴长为2

2

的椭圆（除B，C两点）．
（2）∵不过点B，C的直线l与轨迹Q只有一个公共点，且公共点在第一象限，
∴可设直线l方程为y=kx+b，其中k＜0，b＞0，
则直线l与两轴的交点分别为（0，b），（-

b

k

，0）．
由

y=kx+b x2+ y2 2 =1

，得（k²+2）x²+2kbx+b²-2=0       　 　　
∵不过点B，C的直线l与轨迹Q只有一个公共点，
∴△=4k²b²-4（k²+2）（b²-2）=0，即b²=k²+2，
∴三角形面积S=

1

2

•（-

b

k

）•b=

k2+2

-2k

=

-k

2

+

1

-k

≥2

-k 2 • 1 -k

=

2

                  
当且仅当

-k

2

=

1

-k

，即k=-

2

时，直线l与两坐标轴围成的三角形面积取得最小值

2

，
此时b²=k²+2=4，b=2，经检验知：符合题意．
∴直线l的方程为y=-

2

x+2时，三角形面积的最小值为

2

．

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆方程和直线方程联立，消去一个变量，运用判别式判断直线与椭圆的位置关系，以及应用基本不等式求最值，是一道综合题．