Question

已知椭圆的中心为原点O，长轴长为4

2

，一条准线的方程为y=

8 7

7

．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）射线y=2

2

x（x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A，B两点（A，B两点异于M）．求证：直线AB的斜率为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1．由题意得

2a=4 2 a2 c = 8 7 7

，由此能求出椭圆标准方程．
（Ⅱ）设k＞0，求出M（

2

2

，2）．直线MA方程为y-2=k(x-

2

2

)，直线MB方程为y-2=-k(x-

2

2

)．分别与椭圆方程联立，求出交点坐标，由此能证明直线AB的斜率为定值．

解答： （Ⅰ）解：由准线为y=

8 7

7

知焦点在y轴上，
则可设椭圆方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1．
又

2a=4 2 a2 c = 8 7 7

，解得

a=2 2 b=1 c= 7

，
所以椭圆标准方程为：x2+

y2

8

=1．
（Ⅱ）证明：∵斜率k存在，不妨设k＞0，求出M（

2

2

，2）．
直线MA方程为y-2=k(x-

2

2

)，
直线MB方程为y-2=-k(x-

2

2

)．
分别与椭圆方程联立，
解出xA=

2 k2-4k

k2+8

-

2

2

，xB=

2 k2+4k

k2+8

-

2

2

．
∴

yA-yB

xA-xB

=

k(xA-xB)

xA-xB

=2

2

．
∴kAB=2

2

（定值）．
∴直线AB的斜率为定值2

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线的斜率为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．