Question

已知函数f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx（ω＞0）的周期为

π

2

．
（1）求ω的值和f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC的三边a，b，c成等比数列，且边b所对的角为x，求此时函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换可得f（x）=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，而其周期为

π

2

，可求得ω的值，利用正弦函数的单调性可求f（x）的单调递增区间；
（2）利用等比数列的性质及余弦定理可得b²=a²+c²-2accosx=ac，再利用基本不等式可求得cosx≥

1

2

，继而得到0＜x≤

π

3

，-

π

6

＜4x-

π

6

≤

7π

6

，利用正弦函数的单调性与最值即可求得函数f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

sinωxcosωx-cos²ωx=

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，
其周期T=

2π

2ω

=

π

2

，
∴ω=2，
∴f（x）=sin（4x-

π

6

）-

1

2

；
由-

π

2

+2kπ≤4x-

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）得：

kπ

2

-

π

12

≤x≤

kπ

2

+

π

6

（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为[

kπ

2

-

π

12

，

kπ

2

+

π

6

]（k∈Z）；
（2）∵△ABC的三边a，b，c成等比数列，且边b所对的角为x，
∴b²=ac，又由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosx≥2ac-2accosx（当且仅当a=c时取等号），
∴ac≥2ac-2accosx，
∴cosx≥

1

2

，由x∈（0，π），
∴0＜x≤

π

3

，-

π

6

＜4x-

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin（4x-

π

6

）≤1，-1≤sin（4x-

π

6

）-

1

2

≤

1

2

；
∴函数f（x）的值域为[-1，

1

2

]．

点评：本题考查三角恒等变换，突出考查正弦函数的单调性与最值，考查等比数列的性质及余弦定理的综合应用，属于难题．