Question

已知圆锥曲线E的两个焦点坐标是F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），且离心率为e=

2

；
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）设曲线E表示曲线E的y轴左边部分，若直线y=kx-1与曲线E相交于A，B两点，求k的取值范围；
（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，如果|

AB

|=6

3

，且曲线E上存在点C，使

OA

+

OB

=m

OC

，求m的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由e=

2

知，曲线E是以F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0）为焦点的双曲线，由此能求出曲线E的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程组：

y=kx-1 x2-y2=1，x＜0

，得（1-k²）x²+2kx-2=0，x＜0，由此利用根的判别式和韦达定理能求出k的取值范围．
（Ⅲ）由6

3

=|

AB

|=

1+k2

|x₁-x₂|推导出k=-

5

2

，从而直线AB的方程为

5

2

x+y+1=0．设C（x₀，y₀），由已知

OA

+

OB

=m

OC

，得C（

-4 5

m

，

8

m

）．由C在曲线E上，求得m=4．

解答： 解：（Ⅰ）由e=

2

知，曲线E是以F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0）为焦点的双曲线，
且c=

2

，

c

a

=

2

，解得a=1，∴b²=2-1=1，
故双曲线E的方程是x²-y²=1． …（3分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程组：

y=kx-1 x2-y2=1，x＜0

，得（1-k²）x²+2kx-2=0，x＜0，
从而有：

1-k2≠0 △=(2k)2+8(1-k2)＞0 x1+x2= -2k 1-k2 ＜0 x1x2= -2 1-k2 ＞0

，解得-

2

＜k＜-1，
∴k的取值范围是（-

2

，-1）．…（8分）
（Ⅲ）∵6

3

=|

AB

|=

1+k2

|x₁-x₂|
=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=2

(1+k2)(2-k2) (1-k2)2

，
整理得28k⁴-55k²+25=0，解得k2=

5

7

或k2=

5

4

，
注意到-

2

＜k＜-1，k=-

5

2

，
故直线AB的方程为

5

2

x+y+1=0．…（10分）
设C（x₀，y₀），由已知

OA

+

OB

=m

OC

，得（x₁，y₁）+（x₂，y₂）=（mx₀，my₀），
又x1+x2=

-2k

1-k2

=-4

5

，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2=8，∴C（

-4 5

m

，

8

m

）．
C在曲线E上，得

80

m2

-

64

m2

=1，解得m=±4，
但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，
∴m=4为所求．…（13分）

点评：本题考查曲线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，考查实数的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．