Question

已知椭圆C的焦点是F₁（0，-

3

），F₂（0，

3

），点P在椭圆上且满足|PF₁|+|PF₂|=4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A₁、A₂，右顶点为B，圆E与以线段OA₁为直径的圆关于直线A₂B对称．求圆E的标准方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得2a=4，c=

3

，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）以线段OA₁为直径的圆的圆心为（0，1），半径为1，直线A₂B的方程为2x-y-2=0．设点（0，1）关于直线A₂B的对称点为（x₁，y₁），则

2× x1+0 2 - y1+1 2 -2=0 y1-1 x1 ×2=-1

，由此能求出圆E的标准方程．

解答： 解：（1）∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|
∴2a=4，a=2，（2分）
∵c=

3

∴b²=a²-c²=1，（3分）
∴椭圆C的标准方程为x2+

y2

4

=1．（4分）
（2）以线段OA₁为直径的圆的圆心为（0，1），半径为1．（5分）
点A₂（0，-2），B（1，0），
∴直线A₂B的方程为y=2（x-1）即2x-y-2=0．（7分）
设点（0，1）关于直线A₂B的对称点为（x₁，y₁），
则

2× x1+0 2 - y1+1 2 -2=0 y1-1 x1 ×2=-1

，（9分）
化简得

2x1-y1-5=0 x1+2y1-2=0

，（10分）
解得

x1= 12 5 y1=- 1 5

，（12分）
∴圆E的标准方程为(x-

12

5

)2+(y+

1

5

)2=1．（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查圆的标准方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．