Question

如图：内接于⊙O的△ABC的两条高线AD、BE相交于点H，过圆心O作OF⊥BC于 F，连接AF交OH于点G，并延长CO交圆于点I．
（1）若

OF

=λ

AH

，试求λ的值；
（2）若

CH

=x

OA

+y

OB

，试求x+y的值；
（3）若O为原点，点B的坐标为（-4，-3），点C的坐标为C（4，-3），试求点G的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,平面向量及应用,直线与圆

分析：（1）先判断四边形AIBH为平行四边形，利用向量的线性运算，可求λ的值；
（2）利用利用向量的线性运算，结合平面向量基本定理，求x+y的值；
（3）利用代入法，可求点G的轨迹方程．

解答： 解：∵CI为直径，
∴∠IAC和∠IBC均为直角，
∴AI∥BE，BI∥AD，
∴四边形AIBH为平行四边形
（1）

OF

=

1

2

IB

=

1

2

AH

=λ

AH

，∴λ=

1

2

；
（2）

OH

=

OB

+

BH

=

OB

+

IA

而

IA

=

OA

-

OI

=

OA

-

CO

∴

OH

=

OB

+

BH

=

OB

+

IA

=

OB

+

OA

+

OC

∴

CH

=

OA

+

OB

而

CH

=x

OA

+y

OB

，
∴x+y=2
（3）∵OF=

1

2

IB=

1

2

AH，∴FG=

1

2

GA又F为BC的中点，∴G为△ABC的重心
显然，A的轨迹为除B，C外的⊙O，其方程为：x²+y²=25（y≠-3）
设A（x₀，y_o），G（x，y），则

x= x0 3 y= y0-3-3 3

，得：

x0=3x y0=3y+6

代入⊙O的方程并化简得G的轨迹方程为：x2+(y+2)2=

25

9

（y≠-3）．

点评：本题考查向量知识的运用，考查轨迹方程，考查代入法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．