Question

已知函数f（x）=alnx-

1

x

（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=-

1

2

x垂直，求切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）当a=1，且x≥2时，证明f（x-1）≤2x-5．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出原函数的导函数，由导数值等于2求得a的值，则切点可求，代入直线方程的点斜式求得切线方程；
（2）求出元函数的导函数，可得当a≥0时导函数在定义域内大于0恒成立，当a＜0时求出导函数的零点，由零点对函数的定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到函数的单调区间；
（3）令g（x）=f（x-1）-（2x-5），求其导函数，得到g′（x）＜0，则g（x）在[2，+∞）上递减，从而证得答案．

解答： （1）解：∵f(x)=alnx-

1

x

，
∴f′(x)=

a

x

+

1

x2

．
由已知得f′（1）=a+1=2，则a=1，那么切点为（1，-1）．
故切线方程为y+1=2（x-1），即2x-y-3=0；
（2）解：由于f′(x)=

a

x

+

1

x2

=

ax+1

x2

(x＞0)．
当a≥0时，恒有f′（x）＞0，那么f（x）在（0，+∞）上递增；
当a＜0时，由f′（x）=0，得x=-

1

a

．
若x∈(0，-

1

a

)，则f′（x）＞0，那么f（x）在(0，-

1

a

) 递增．
若x∈(-

1

a

，+∞)，则f′（x）＜0，那么f（x）在(-

1

a

，+∞)递减；
（3）证明：当a=1时，令g（x）=f（x-1）-（2x-5），
则g(x)=ln(x-1)-

1

x-1

-2x+5．
g′(x)=

1

x-1

+

1

(x-1)2

-2=-

(2x-1)(x-2)

(x-1)2

．
当x≥2时，g′（x）＜0，则g（x）在[2，+∞）上递减，那么g（x）≤g（2）=0．
故当a=1且x≥2时，f（x-1）≤（2x-5）．

点评：本题考查了利用导数求曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用构造函数法证明不等式，是压轴题．