Question

如图，四边形ABCD是菱形，且AC=AB=2，AM⊥平面ABCD，MA∥NC，MA=3NC=3．
（Ⅰ）若点P在AM上，且MP=2PA，求证：OP∥平面MND；
（Ⅱ）求二面角B-MN-D的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取MP的中点Q，连结CQ，由已知条件得MN∥PO，由此能证明PO∥平面MND．
（Ⅱ）由勾股定理推导出BN⊥MN，根据对称性，同理得DN⊥MN，由已知条件得∠BND为二面角B-MN-D的平面角，由此能求出二面角B-MN-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：取MP的中点Q，连结CQ，
∵MQ∥NC，MQ=NC=1，
∴MN∥CQ，
∵P是AQ的中点，O是AC的中点，
∴MN∥PO，
∵MN?平面MND，PO不包含于平面MND，
∴PO∥平面MND．
（Ⅱ）解：∵MB=

AB2+MA2

=

13

，
MN=

AC2+(MA-NC)2

=2

2

，BN=

CB2+NC2

=

5

，
∴MN²+BN²=13，∴BN⊥MN，
根据对称性，同理得DN⊥MN，
∴∠BND为二面角B-MN-D的平面角，
∵BD=2

3

，BN=ND=

5

，
∴cosθ=

BN2+ND2-BD2

2BN•DN

=-

1

5

．
∴二面角B-MN-D的余弦值为-

1

5

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．