Question

若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：

AM

=

3

4

AB

+

1

4

AC

．
（1）求△ABM与△ABC的面积之比．
（2）若N为AB中点，AM与CN交于点O，设

BO

=x

BM

+y

BN

，求x，y的值．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：（1）由

AM

=

3

4

AB

+

1

4

AC

，可知M、B、C三点共线．可得

BM

=

1

4

BC

，即可得出；
（2）由

BO

=x

BM

+y

BN

⇒

BO

=x

BM

+

y

2

BA

，

BO

=

x

4

BC

+y

BN

，利用共线向量定理可得．

解答： 解（1）由

AM

=

3

4

AB

+

1

4

AC

，可知M、B、C三点共线．
如图令

BM

=λ

BC

⇒

AM

=

AB

+

BM

=

AB

+λ

BC

=

AB

+λ(

AC

-

AB

)=(1-λ)

AB

+λ

AC

⇒λ=

1

4

，
∴

S△ABM

S△ABC

=

1

4

，即面积之比为1：4．
（2）由

BO

=x

BM

+y

BN

⇒

BO

=x

BM

+

y

2

BA

，

BO

=

x

4

BC

+y

BN

，
由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线⇒

x+ y 2 =1 x 4 +y=1

⇒

x= 4 7 y= 6 7

点评：本题查克拉向量共线定理和共面向量定理、三角形的面积之比，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．