Question

函数f（x）=e^x（ax²+m）（其中a，m是实数）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=0，m=1，函数f（x）的图象上有三个点：A（x₁，f（x₁），B（x₂，f（x₂），C（x₃，f（x₃），
满足：x₁＜x₂＜x₃，试判断A，B，C三点是否在同一条直线上，并证明你的结论．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,三点共线

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）a=1时，f（x）=e^x（x²+m），从而f′（x）=e^x（x²+2x+m），分别令f′（x）＞0，f′（x）＜0，进而求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）分别利用导数求出过点A，B，C的切线的斜率，斜率是否相等，继而判断判断A，B，C三点是否在同一条直线上．

解答： 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=e^x（x²+m），
∴f′（x）=e^x（x²+2x+m），
∵e^x＞0，
设g（x）=x²+2x+m，
①当△=2²-4m≤0，即m≥1，g（x）≥0，
∴f′（x）≥0，
∴当m≥1时，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）．
②当△=2²-4m＞0，即m＜1，
令g（x）=（x²+2x+m）=0，解得x=-1±

1-m

，
当g（x）＞0时，x＞-1+

1-m

或x＜-1-

1-m

，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当g（x）＜0时，-1-

1-m

＜x＜-1+

1-m

，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
故f（x）的单调递增区间为（-∞，-1-

1-m

）∪（-1+

1-m

，+∞），单调减区间为（-1-

1-m

，-1+

1-m

），
（Ⅱ）a=0，m=1时，函数f（x）=e^x，
∴f′（x）=e^x，
∴k₁=f′（x₁）=f（x₁），k₂=f′（x₂）=f（x₂），k₃=f′（x₃）=f（x₃），
∵x₁＜x₂＜x₃，
∴f（x₁）＜f（x₂）＜f（x₃），
∴k₁＜k₂＜k₃，
∴A，B，C三点不在同一条直线上．

点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，指数函数的性质，是一道综合题．