Question

已知f（x）=（

x-1

x+1

）²，（x≥1），g（x）是f（x）的反函数，记h（x）=

1

g(x)

+

x

+2，求：h（x）的解析式及其最小值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：欲求原函数f（x）的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．再求出h（x）的解析式，再根据基本不等式求得最小值．

解答： 解：f（x）=（

x-1

x+1

）²，（x≥1），
∴y∈[0，1）
令x=y，则x=（

y-1

y+1

）²，
∴

y-1

y+1

=

x

∴g（x）=

1+ x

1- x

，x∈[0，1），
∵h（x）=

1

g(x)

+

x

+2，
∴h（x）=

1- x

1+ x

+

x

+2=(1+

x

)+

2

1+ x

≥2

2

，当且仅当x=3-2

2

时取等号，
故h（x）的最小值为3-2

2

点评：本题考查反函数的求法以及基本不等式的性质，要会求一些简单函数的反函数，掌握互为反函数的函数图象间的关系．