Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=e^x-1．
（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若不等式f（x）g（x）≥ax-1在区间[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由题意得到函数F（x）的解析式，求导后得到F′(x)=

1

x

-ex-1=

1-xex-1

x

．令φ（x）=1-xe^x-1，由φ（x）的单调性结合φ（1）=0可得F′（x）在不同区间内的符号，从而得到函数F（x）的单调区间；
（Ⅱ）设G（x）=f（x）g（x）-（ax-1）=e^x-1lnx-ax+1，由导数得到函数G′（x）≥1-a，根据不等式f（x）g（x）≥ax-1在区间[1，+∞）上恒成立，得到G（1）=1-a≥0，即a≤1，此时满足G′（x）≥1-a≥0，有函数G（x）在区间[1，+∞）上单调递增，则G（x）≥G（1）≥0．由此确定实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx，g（x）=e^x-1，
∴F（x）=lnx-e^x-1，x∈（0，+∞），
F′(x)=

1

x

-ex-1=

1-xex-1

x

．
令φ（x）=1-xe^x-1，则φ（x）在区间（0，+∞）上单调递减，又φ（1）=0，
∴当x∈（0，1）时，φ（x）＞0，F′（x）＞0，F（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，φ（x）＜0，F′（x）＜0，F（x）在（1，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）设G（x）=f（x）g（x）-（ax-1）=e^x-1lnx-ax+1，x∈[1，+∞）．
则G′(x)=ex-1(lnx+

1

x

)-a，令h(x)=ex-1(lnx+

1

x

)，则h′(x)=ex-1(

2

x

+lnx-

1

x2

)，
令t(x)=

2

x

+lnx-

1

x2

，则t′(x)=

1

x

+

2

x3

-

2

x2

=

x2-2x+2

x3

＞0．
∴t（x）在区间[1，+∞）上单调递增，则t（x）≥t（1）=1＞0，从而h′（x）＞0．
∴函数h（x）在区间[1，+∞）上单调递增，则h（x）≥h（1）=1＞0，即G′（x）≥G′（1）=1-a．
又不等式f（x）g（x）≥ax-1在区间[1，+∞）上恒成立，
∴G（1）=1-a≥0，即a≤1．
而当a≤1时G′（x）≥0，
∴函数G（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
∴G（x）≥G（1）≥0．
∴实数a的取值范围为（-∞，1]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了数学转化思想方法和函数构造法，解答此题的关键在于多次利用函数的导函数确定原函数的单调性，是压轴题．