Question

如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠BAD=

π

3

，AD=2．
（Ⅰ）求证：平面FCB∥平面AED；
（Ⅱ）若二面角A-EF-C的大小为

π

3

，求线段ED的长．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件得FB∥平面AED，BC∥平面AED，由此能证明平面FBC∥平面EDA．
（Ⅱ）设ED=a，设菱形ABCD的对角线交于O点，线段EF的中点为M，连结MO，分别以OA，OB，OM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段ED的长．

解答： （Ⅰ）证明：在矩形BDEF中，FB∥ED，
∵FB不包含于平面AED，ED?平面AED，
∴FB∥平面AED，
同理，BC∥平面AED，
又FB∩BC=B，
∴平面FBC∥平面EDA．
（Ⅱ）解：设ED=a，设菱形ABCD的对角线交于O点，线段EF的中点为M，
连结MO，则MO∥ED，
∴MO⊥平面ABCD，∴OA，OB，OM两两互相垂直，
分别以OA，OB，OM为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意得A（

3

，0，0），E（0，-1，a），C（-

3

，0，0），
∴

EF

=（0，2，0），

AF

=（-

3

，1，a），

CF

=（

3

，1，a），
设平面AEF的法向量为

m

=（x₁，y₁，z₁），
平面CEF的法向量

n

=(x2，y2，z2)，
由

m • EF =0 m • AF =0

，得

2y1=0 - 3 x1+y1+az1=0

，
取x₁=a，得

m

=（a，0，

3

），
则理平面CEF的一个法向量为

n

=(a，0，-

3

)，
∵二面角A-EF-C的大小为

π

3

，
∴cos＜

n

，

m

＞=

a2-3

a2+3

=cos

π

3

=

1

2

，
结合a＞0，解得a=3，
∴线段ED的长为3．

点评：本题考查平面与平面平行的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．