Question

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的参数方程为：，

x= 2 cosθ y= 6 sinθ

（θ为参数），C₂的极坐标方程为：2ρsinθ-

3

ρcosθ+5=0．
（Ⅰ）写出C₁和C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知射线l₁的极坐标方程为：θ=

π

3

，射线l₂的极坐标方程为：θ=-

π

6

．且l₁交C₁于M，l₂交C₂于N，求三角形OMN的面积．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）把曲线C₁的参数方程，消去参数化为直角坐标方程；把 C₂的极坐标方程利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，化为直角坐标方程．
（2）把l₁的参数方程代入曲线C₁的方程化简，求得t=2，可得OM=2．把l₂：θ=-

π

6

，代入C₂的极坐标方程，求得 ρ=2，可得ON=2，再根据∠MON=90°，求得S_△OMN的值．

解答： 解：（1）把曲线C₁的参数方程

x= 2 cosθ y= 6 sinθ

（θ为参数），消去参数可得C₁：

y2

6

+

x2

2

=1．
∵C₂的极坐标方程为2ρsinθ-

3

ρcosθ+5=0，可得它的直角坐标方程为

3

x-2y-5=0．
（2）∵l₁：θ=

π

3

，即

x= 1 2 t y= 3 2 t

(t≥0，t为参数)，代入曲线C₁的方程可得

3 4 t2

6

+

1 4 t2

2

=1，
求得t=2，即OM=2．
把l₂：θ=-

π

6

，代入C₂的极坐标方程，可得 2ρsin(-

π

6

)-

3

ρcos(-

π

6

)+5=0，
求得 ρ=2，即ON=2．
由题知∠MON=90°，∴S_△OMN=2．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，参数的几何意义，属于基础题．