Question

已知椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其离心率为

1

2

，经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（|k|≤

1

2

）与椭圆C交于A、B两点，P为椭圆上的点，O为坐标原点，且满足

OP

=

OA

+

OB

，求|

OP

|的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得

e= c a = 1 2 b2 a = 3 2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、两点间距离公式能求出|

OP

|的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得

e= c a = 1 2 b2 a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=3．
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（Ⅱ）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，消y化简整理得：
（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0，①
设A，B，P点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₀，y₀），
则x₀=x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，y₀=y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

6m

3+4k2

．…（8分）
由于点P在椭圆C上，所以

x02

4

+

y02

3

=1．
从而

16k2m2

(3+4k2)x2

+

12m2

(3+4k2)2

=1，化简得4m²=3+4k²，经检验满足①式．
又|OP|=

x02+y02

=

64k2m2 (3+4k2)2 + 36m2 (3+4k2)2

=

4m2(16k2+9) (3+4k2)2

=

16k2+9 4k2+3

=

4- 3 4k2+3

，
因为|k|≤

1

2

，得3≤4k2+3≤4，有

3

4

≤

3

4k2+3

≤1，
故

3

≤|OP|≤

13

2

．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、两点间距离公式的合理运用．