Question

下列结论不正确的是（　　）

• A、e^x≥1+x，x∈R
• B、lnx＜x，x＞0
• C、sinx＜x，x∈（0，π）
• D、cosx＞-

  x

  π

  ，x∈（0，π）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：A．设y=e^x-1-x，运用导数求出最小值，从而判断；
B．设y=lnx-x，求出导数，求出最值，加以判断；
C．设y=sinx-x，x∈（0，π），运用导数得到函数的单调性，从而加以判断；
D．设y=cosx+

x

π

，x∈（0，π），可取x=

5π

6

，求出函数值，即可判断．

解答： 解：A．设y=e^x-1-x，y′=e^x-1，当x＞0时，y′＞0，x＜0时，y′＜0，
故x=0取得极小值0，也是最小值，故y≥0，即A正确；
B．设y=lnx-x，y′=

1

x

-1，x＞1时，y′＜0，0＜x＜1时，y′＞0，
故x=1取得极大值-1，也是最大值，故y≤-1＜0，即B正确；
C．设y=sinx-x，x∈（0，π），则y′=cosx-1＜0，
故（0，π）是减区间，则-π＜y＜0．即sinx＜x，故C正确；
D．设y=cosx+

x

π

，x∈（0，π），则取x=

5π

6

，f（x）=cos

5π

6

+

5

6

=-

3

2

+

5

6

＜0，故D不正确．
故选：D．

点评：本题考查函数的导数的运用，求极值和最值，以及证明不等式，考查函数单调性及运用，和不等式恒成立的解决的方法，属于中档题．