Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）离心率为

1

2

，短轴长为2，直线l：y=x+m，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线l与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
（3）若直线l过椭圆右焦点，并与椭圆交于A、B两点，求弦AB之长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

c a = 1 2 2b=2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）联立

y=x+m 3x2 4 +y2=1

，得7x²+8mx+4m²-4=0，由直线l与椭圆有公共点，得△=64m²-28（4m²-4）≥0，由此能求出实数m的取值范围．
（3）联立

y=x- 3 3 3x2 4 +y2=1

，得7x²-

8 3

3

x-

8

3

=0，由此能求出|AB|．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）离心率为

1

2

，短轴长为2，
∴

c a = 1 2 2b=2 a2=b2+c2

，解得a2=

4

3

，b²=1，
∴椭圆的标准方程为

x2

4 3

+y2=1．
（2）联立

y=x+m 3x2 4 +y2=1

，得7x²+8mx+4m²-4=0，
∵直线l与椭圆有公共点，
∴△=64m²-28（4m²-4）≥0，
解得-

21

3

＜m＜

21

3

．
∴实数m的取值范围是（-

21

3

，

21

3

）．
（3）∵直线l：y=x+m过椭圆右焦点F₂（

3

3

，0），
∴m=-

3

3

，y=x-

3

3

，
联立

y=x- 3 3 3x2 4 +y2=1

，得7x²-

8 3

3

x-

8

3

=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8 3

21

，x₁x₂=-

8

21

，
∴|AB|=

(1+1)[( 8 3 21 )2+ 32 21 ]

=

8 3

7

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，考查弦长的求法，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．