Question

如图，圆内接四边形ABCD的对角线BD上有一点E，满足∠BAE=∠CAD．
（Ⅰ）求证：△AEB∽△ACD，△AED∽△ABC；
（Ⅱ）若AB=5，BC=5，CD=3，DA=5.5，AC=6.5，求BD的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段,相似三角形的判定

专题：选作题,立体几何

分析：（Ⅰ）利用对应角相等，证明：△AEB∽△ACD，△AED∽△ABC；
（Ⅱ）由△AEB∽△ACD，△AED∽△ABC，可得BE=

AB•CD

AC

，ED=

AD•BC

AC

，两式相加可得BD．

解答： （Ⅰ）证明：∵∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠ACB，∠BAE=∠CAD
∴△AEB∽△ACD；
∵∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC=∠EAD，
∴△AED∽△ABC；
（Ⅱ）解：∵△AEB∽△ACD，△AED∽△ABC，
∴

AB

AC

=

BE

CD

，

AD

AC

=

ED

BC

，
∴BE=

AB•CD

AC

，ED=

AD•BC

AC

，
两式相加可得BD=

AB•CD

AC

+

AD•BC

AC

=

8.5

13

=

17

26

．

点评：本题考查三角形的相似的证明，考查性质的运用，考查学生的计算能力，比较基础．