Question

若函数f（x）=（1-m²）lnx+x²+（3-m）x（x＞0）不存在极值点，则m的取值范围是（　　）

• A、[-1，1]
• B、[-1，

  1

  3

  ]
• C、[

  1

  3

  ，1]
• D、（-∞，1]

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：函数f不存在极值点，则f′（x）≥0，或f′（x）≤0恒成立，转化为求f′（x）最值．

解答： 解：f′（x）=

1-m2

x

+2x+（3-m）（x＞0），
由已知，f′（x）≥0，或f′（x）≤0恒成立，
即（1-m²）+2x²+（3-m）x≥0或（1-m²）+2x²+（3-m）x≤0恒成立，
记g（x）=2x²+（3-m）x+（1-m²），则（1-m²）+2x²+（3-m）x≤0恒成立不可能，
只有g（x）≥0恒成立．
①当m≤3时，g（x）＞g（0），由g（0）=1-m²≥0得，-1≤m≤1，
②当m＞3时，g（x）≥g（

m-3

4

）=-（3m-1）²，g（x）≥0不恒成立．
综上所述，m的取值范围是[-1，1]，
故选：A．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值与最值考查了推理能力和计算能力．